例谈数学思想方法在集合问题中的应用
宁波市鄞州中学朱达峰邮编 315101
一、“数形结合”思想
认清集合的特征，准确地转化图形关系，借助图形能够使问题得以直观具体的解决，因此要重视数形结合的思想方法的运用（如数轴、几何图形、韦恩图等）
例1、已知集合，集合，若
则的取值范围是（ ）
ABCD
分析集合表示直线及其右下方区域；集合表示以为圆心，1为半径的动圆面。由于，因此动圆必须在不等式区域的内部，如图，应满足：，选B
二、补集思想
对于某些问题，如果从正面求解较困难，则可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略。具体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合，则的补集即为所求。
例2、已知非空集合，若，求实数的取值范围。
分析非空集合是方程①的实数解组成的集合，表示方程①的根情况有：（1）两负根；（2）一负根、一零根；（3）一负根、一正根三种。分别求解相当麻烦。上述三种情况虽可概括为方程①的较小根，但求解此不等式并不简单。如果考虑的反面，则可先求方程①的两根均非负时的取值范围。
解设全集，
方程的两根均非负的充要条件是，
故时，实数的取值范围为，则知时，实数的取值范围为
三、分类讨论思想
它是根据数学对象本质属性的相同点和不同点，确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别进行求解，并综合得出答案的一种数学思想，在划分中要求始终使用同一标准，这个标准应该科学的、合理的，要满足互质、互漏、最简的原则。
例3、从集合中任取3个数，这3个数的和恰好能被3整除的概率是（ ）
A B C D
分析集合中共有17个数，的5个；的6个；的6个
可知能被3整除的概率是，选B
例4、已知集合，若，求实数的值。
解易知，由知，或或
当时，
当时，由
当时，由，综上知，
四、等价转化思想
把待解决的问题转化成已有知识范围内可以解决的问题，也就是把陌生的问题转化成熟悉的问题，以便能够利用已有的知识和经验来处理，这种化整为零、化繁为简、化整体为局部，化一般为特殊的处理方法在集合问题中很常见。
例5、已知集合，对它的非空子集，可将中的每个元素都乘以，再求和（如，可求得和为），则对的所有非空子集，这些和的总和为 。
分析含元素1的子集共有，同样含元素2、3、、、10的子集个数都是，所以元素和为
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