第29届俄罗斯数学奥林匹克
来源:朱达峰|编辑日期:2009-12-01 10:37:30|点击数: |发布：36
（2003-4-13～2003-4-14）
九年级
9.1 数集M由2003个不同的数组成，对于M中任何两个不同的元素a、b，数都是有理数．证明：对于M中的任何数a，数都是有理数．
9.2 ⊙O1和⊙O2相交于点A、B．过点A所作的两圆的切线分别与BO1和BO2相交于点K和L．证明：KL∥O1O2．
9.3 直线上分布着条白色线段和条黑色线段．已知任何一条白色线段都至少与k条黑色线段相交，并且任何一条黑色线段都至少与k条白色线段相交．证明：可以找到一条黑色线段与所有白色线段都相交，也可以找到一条白色线段与所有黑色线段都相交．
9.4 数列按如下的方式构成：，其中p是质数，且p恰有300位数字非0．而是的十进制小数表达式的一个循环节的2倍．试求．
9.5 某国有N个城市．每两个城市之间或者有公路，或者有铁路相连．一个旅行者希望到达每个城市恰好一次，并且最终回到他所出发的城市．证明：该旅行者可以挑选一个城市作为出发点，不但能够实现他的愿望，而且途中至多变换一次交通工具．
9.6 设a、b、c为正数，它们的和等于1．证明：
≥．
9.7 能否在一张无限大的方格纸的每一个方格中都填入一个正整数，使得对任何正整数m、n＞100，纸上的任何方格表中所填的数的和都可以被整除．
9.8 在锐角△APD的边AP和PD上各取一点B和C．四边形ABCD的两条对角线相交于点Q．△APD和△BPC的垂心分别为H1和H2．证明，如果直线H1H2经过△
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