中国封建制的组织特征是什么？这是一个非常老的问题，清末时的一大批有识之士就已思考它了。在今天，如果采用分形概念，这个问题很好回答。封建制的本质特征是“家”或“家族”，英文“fuedal”　本来就有家族的义项。在中国，封建制中的“家”因素极为突出，构成了社会的最基本“元胞”，是自相似之分形的“生成子”。由这个“家”生成元，仅仅通过尺度变换，便可非常逼真地再现出现实的封建社会图景。在封建社会里，一切社会现象都可以从“家”得到程度不同的解释，封建制也就是家长制；家庭成员之间的关系就反映了社会机构之间的关系

有一点值得高兴，计划生育政策将根本上有助于打碎“家”元胞的结构渊薮，使“家”的规模变小，关系趋于简单化，从而令社会仅仅因这一项努力就悄悄地发生革命。这样看来，计划生育的确是“国策”！

生命体区别于非生命体的一个主要标志是“自我复制”，[从这种意义上讲，对待人体克隆( clone)技术应慎重，不能简单地说“可以”或者“不可以”。]基因在其中担当重任。基因负责对生命体的形态、结构、功能进行全方位的编码，其信息量想必极大，但基因存在于染 色体上，染色体的个数和容量是有限的，基因所包含的信息也决不会是无限的。常识的想法是，要准确描述后代生命的性状，原则上需要无穷多信息，这在物理科学水平是无法解释通的。现在有了分形理论，这个矛盾立即消失，简单而少量的规则是可以生成复杂结构的。生命体在自我复制过程中必然大量使用分形迭代机制

DLA模型的思想是很简单的，假设一平面方形点阵(也可以是别的形状)的中央先放入一个静止粒子，在区域边界随机释放一个新粒子，粒子做无规行走，如果碰到中央的粒子则凝聚不 动；如果再次碰到外边界则不再考虑它，这时在区域中再产生一个新粒子，同样做无规行走，碰到中间已存在的粒子则凝聚，等等。我们释放1000个、25000个粒子看看会有什么现象。用计算机很容易模拟上述过程，模拟结果发现能够生成各种各样的分形结构，它们很像自 然存在的树枝状物体。

耗散结构是自组织现象中的重要部分，它是在开放的远离平衡条件下，在与外界交换物质和能量的过程中，通过能量耗散和内部非线性动力学机制的作用，经过突变而形成并持久稳定的宏观有序结构。耗散结构理论可概括为：一个远离平衡态的非线性的开放系统(不管是物理的、化学的、生物的乃至社会的、经济的系统)通过不断地与外界交换物质和能量，在系统内部某个参量的变化达到一定的阈值时，通过涨落，系统可能发生突变即非平衡相变，由原来的混沌无序状态转变为一种在时间上、空间上或功能上的有序状态。这种在远离平衡的非线性区形成的新的稳定的宏观有序结构，由于需要不断与外界交换物质或能量才能维持，因此称之为“耗散结构”(dissipative structure)。^[5]可见，要理解耗散结构理论，关键是弄清楚如下几个概念：远离平衡态、非线性、开放系统、涨落、突变。

阈值即临界值对系统性质的变化有着根本的意义。在控制参数越过临界值时，原来的热力学分支失去了稳定性，同时产生了新的稳定的耗散结构分支，在这一过程中系统从热力学混沌状态转变为有序的耗散结构状态，其间微小的涨落起到了关键的作用。这种在临界点附近控制参数的微小改变导致系统状态明显的大幅度变化的现象，叫做突变。耗散结构的出现都是以这种临界点附近的突变方式实现的

从稳定性角度，我们可以粗略地把世界上的系统分为稳定系统和不稳定系统两类。对于稳定系统(如二体问题所研究的系统)，科学给出的描述是：规律+(一定精确度的)边界条件 (一定精确度的)系统全部信息，这种描述带来了稳定系统的很多特点，如可预测性、可控制性等。而对于不稳定系统（如三体系统、天气系统、社会系统等)，科学无法给出“规律+(一定精确度的)边界条件 (一定精确度的)系统全部信息”的描述，这导致了不稳定系统的如下特点：有限的预测能力、不可逆与不可控制等。不稳定系统的本质特征就是，对边界条件的了解，绝对精确(精确到一个点)和不绝对精确(只精确到一个小区域)之间有本质的区别，两者的动力学行为极为不同。^[12]

混沌动力学所研究的正是不稳定的自然，它表明产生混沌现象的因素可归纳为两个方面：一定的非线性机制(不是所有的非线性机制)和非绝对精确的初始条件，即“一定的非线性机制” +“非绝对精确的初始条件” 混沌。^[13]

孤立子理论无论对于非线性科学来说，还是对于整个科学体系来说，都具有重要意义，这可以从三方面来看。

其一，孤立子是自然界中普遍存在的现象。如木星的红斑旋涡、用隧道电子显微镜成像方法发现的晶体中的电荷密度波、在小尺度湍流环境中长期存在的有序大尺度组织、神经元轴突上传递的冲动电信号、大气中的台风、激光在介质中的自聚焦、晶体中的位错、超导体中的磁通量等。社会经济系统中也广泛地存在着非线性相互作用，由非线性机制产生的孤立子，无论其现象还是本质，都可能启发我们更好地理解某些社会经济现象，如社会财富、社会权利等的稳定集中，某些社会意识等的长时间稳定传播。

其二，孤立子深刻地反映了非线性系统相干结构中惊人的有序。从KdV方程的结构中我们可以来分析其产生孤立子的机理 ，其中 项是弥散项，使初始的局部脉冲扩展开来随着波的行进而改变形状；而非线性对流项 倾向于在脉冲已经很大的地方增大该脉冲并由此使扰动凸起，这两种对抗因素的巧妙平衡为孤立子的形成提供了条件。所有拟序结构，包括孤立子拟序结构和非孤立子拟序结构，都具有非线性效应和弥散力巧妙平衡这一共同特征，它为我们提供了一种从稳定性角度考察事物的新方法。

其三，孤立子理论发展了散射反演方法。由于孤立子的形状在相互作用期间经过暂时的变形之后又严格地得到了复原这一特性的启发，伽德纳发展了散射反演方法，通过一系列线性变换运算得到了一大类具有孤立子的非线性方程的精确而系统的显式解，对无限维分析、代数几何、偏微分方程和动力系统理论产生了深远的影响。散射反演方法的成功，表明了人们可以精确而系统地解一大类非线性方程，这本身就有很大意义，而且对我们深刻理解非线性的本质问题也极具启发性。

总之，孤立子的发现是非线性科学在过去二十年中取得的关键而重大的成就，它的思想将具有深远的影响

神经网络的信息处理能力包括：网络的信息存贮能力和网络的计算能力。它们对应如下问题：

(1)在一个有Ｎ个神经元的神经网络中，可存贮多少个位的信息？

(2)神经网络具有什么样的计算能力？

这两个问题构成了神经网络理论的两个最基本的问题。

在人工神经网络系统中，信息的存贮与处理是合二为一的，即信息的存贮体现在神经元互连的分布上，并以大规模并行分布方式处理。这种并行处理决不是简单地以“空间复杂性代替时间复杂性”，而是反映了完全不同的“计算”原理。从数学观点看，可以把神经网络看做是由大量子系统组成的大系统，系统的最终行为完全由它的吸引子决定，如果视动力系统的稳定吸引子为记忆的话，那么从初态向吸引子流动的过程就是寻找记忆的过程。初态可以认为是给定有关记忆的部分信息。换言之，流动的过程就是从部分信息找出全部信息的过程，这就是联想记忆的基本原理。进一步，若视动力系统的稳定吸引子为系统计算能量函数的极小点，系统最终会流向期望的最小点，“计算”也就在运动过程中悄悄地完成了。运动的时间就是计算时间，这就是神经网络计算机的基本原理。

神经网络系统与现代数字计算机相比有如下不同的特点：

(1)以大规模模拟并行处理为主，而现代数字计算机只是串行离散符号处理。

(2)具有很强的鲁棒性和容错性，关于联想、概括、类比和推广，任何局部的损伤不会影响整体结果。

(3)具有很强的自学习能力。系统可在学习过程中不断完善自己，具有创新特点，这不同于ＡI中的专家系统，后者只是专家经验的知识库，并不能创新和发展。

(4)它是一个大规模自适应非线性动力系统，具有集体运算的能力，这与本质上是线性系统的现代数字计算机迥然不同。

从广义角度讲，微积分、文字翻译、推理等都是一计算过程，而从数学观点看，计算就是在满足一定公理、定理的条件下，从一空间到另一空间的代数映射；从物理观点看，计算是按照一定的自然规则，在某种“硬件”上所发生的一些物理规则。因此，计算可表示为一动力系统中的状态间变换的轨迹。